中心极限定理

林德伯格-列维定理

设 \(X_1, X_2, \cdots, X_n\) 是独立同分布的随机变量，且 \(E(X_i) = \mu\)，\(\mathrm{Var}(X_i) = \sigma^2>0\)，记

\[ Y_n^* = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \]

则对任意实数 \(y\)，有

\[ \lim\limits_{n\to\infty}P(Y_n^* \leq y) = \Phi(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^y e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t \]

棣莫佛-拉普拉斯定理

设 \(n\) 次伯努利试验中，事件 \(A\) 在每次实验中出现的概率为 \(p(0<p<1)\)，记 \(S_n\) 为 \(n\) 次试验中事件 \(A\) 出现的次数，且记

\[ Y_n^* = \frac{S_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} \]

则对任意实数 \(y\)，有

\[ \lim\limits_{n\to\infty}P(Y_n^* \leq y) = \Phi(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^y e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t \]