二次型
含有 \(n\) 个变量 \(x_2,x_2,\cdots x_n\) 的二次齐次函数
\[
\begin{aligned}
f(x_1,x_2,\cdots x_n)=&a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\cdots +a_{nn}x_n^2+\\&2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+\cdots +2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n
\end{aligned}
\]
称为二次型。
\(j>i\) 时，取 \(a_{ji}=a_{ij}\)，则 \(2a_{ij}x_ix_j=a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i\)，于是
\[
f=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j
\]
若二次型只含平方项，即形如
\[
f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+\cdots +k_ny_n^2
\]
则称为标准形，若标准形系数只在 \(1,-1,0\) 中取，则称为规范形。
二次型可利用矩阵表示：
\[
\begin{aligned}
f=&\,x_1(a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n)+x_2(a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n)+\\
& \cdots +x_n(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n)\\
=&\,\begin{pmatrix} x_1, x_2, \cdots, x_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n \end{pmatrix}\\
=&\,\begin{pmatrix} x_1, x_2, \cdots, x_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
记
\[
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix},\,\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}
\]
则二次型可表示为
\[
f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Ax}
\]
其中 \(\boldsymbol{A}\) 为对称矩阵。
此时也建立了二次型和对称矩阵之间一一对应的关系。对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的秩称为二次型 \(f\) 的秩，对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 称为二次型 \(f\) 的矩阵，\(f\) 称为对称矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的二次型。
对于二次型所讨论的问题时寻求可逆线性变换，使二次型化为标准形
\[
\begin{cases}
x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots +c_{1n}y_n \\
x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+\cdots +c_{2n}y_n \\
\cdots \\
x_n=c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+\cdots +c_{nn}y_n
\end{cases}
\]
记 \(\boldsymbol{C} = (c_{ij})\)，这个变换可用矩阵表示
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Cy}
\]
有
\[
f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Ax}=(\boldsymbol{Cy})^{\mathrm{T}}\boldsymbol{ACy}=\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{AC})\boldsymbol{y}
\]
设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 为 \(n\) 阶矩阵，若有可逆矩阵 \(\boldsymbol{C}\)，使 \(\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{AC}\)，则称 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 合同。若 \(\boldsymbol{A}\) 可逆，则 \(\boldsymbol{B}\) 也可逆，且两者秩相同（因为 \(\boldsymbol{C}\) 可逆）。将二次型化为标准形，就是要使 \(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{AC}\) 为对角矩阵，这也称为矩阵 \(A\) 的合同对角化。
对于任意二次型 \(f=\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\)，总有正交变换 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Py}\) 使其变为标准形
\[
f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots +\lambda_ny_n^2
\]
其中 \(\lambda_1,\lambda_2\cdots \lambda_n\) 是矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 的特征值。且对于 \(n\) 元二次型 \(f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Ax}\) 总有可逆变换 \(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Cz}\) 使 \(f(\boldsymbol{Cz})\) 为规范形。