内积

对内积的一般性定义

设 \(V\) 是实线性空间，若对任意的 \(\alpha,\beta\in V\)，都有一个实数与之对应，记该实数为 \(\langle\alpha,\beta\rangle\)，且满足：

• \(\langle\alpha,\beta\rangle=\langle\beta,\alpha\rangle\)

• \(\langle\alpha+\beta,\xi\rangle=\langle\alpha,\xi\rangle+\langle\beta,\xi\rangle,\,\xi\in V\)

• \(\langle k\alpha,\beta\rangle=k\langle\alpha,\beta\rangle\)

• \(\langle\alpha,\alpha\rangle\geq0,\,\langle\alpha,\alpha\rangle=0\Leftrightarrow\alpha=O\)

则称 \(\langle\alpha,\beta\rangle\) 为 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的内积，定义了内积的实线性空间称为欧氏空间。

向量的内积

设有 \(n\) 维向量

\[ \boldsymbol{x} = \left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}\right),\,\boldsymbol{y} = \left(\begin{array}{c} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{array}\right) \]

令

\[ \langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n \]

\(\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\rangle\) 称为向量 \(\boldsymbol{x}\) 与 \(\boldsymbol{y}\) 的内积。

函数的内积

规定两函数 \(f(x)\) 与 \(g(x)\)，以及区间 \([a,b]\)，且两函数在该区间上可积且平方可积。令

\[ \langle f,g\rangle=\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x \]

\(\langle f,g\rangle\) 称为函数 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 的内积。

实内积空间性质

• \(\langle\alpha,O\rangle=0\)

• \(\langle\alpha,\beta+\xi\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle+\langle\alpha,\xi\rangle\)

• \(\langle\alpha,k\beta\rangle=k\langle\alpha,\beta\rangle\)

• \(\langle\sum\limits_{i=1}^nx_i\alpha_i,\sum\limits_{j=1}^my_j\beta_j\rangle=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mx_i\langle\alpha_i,\beta_j\rangle y_j\)