向量的乘积运算¶
向量的内积（数量积）¶
向量的叉积（向量积）¶
向量积的模
\[
\vert\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}\vert=\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{b}\vert\sin(\widehat{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}})
\]
方向垂直于两个向量张成的平面（右手系*）
设 \(\boldsymbol{a}=a_x\boldsymbol{i}+a_y\boldsymbol{j}+a_z\boldsymbol{k},\,\boldsymbol{b}=b_x\boldsymbol{i}+b_y\boldsymbol{j}+b_z\boldsymbol{k}\).
\[
\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{j} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ \end{vmatrix}
\]
由行列式的性质可得
- \(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}\)
- \(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}\Leftrightarrow\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}=0\)
- 向量积满足分配律 \((\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\times \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{c}\)
向量的框积（混合积）¶
\[
[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]=(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix}
\]
行列式的性质得混合积得轮换不变性
\[
[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]=[\boldsymbol{b},\boldsymbol{c},\boldsymbol{a}]=[\boldsymbol{c},\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]
\]
混合积得几何意义是由三个向量张成得平行六面体的体积。三个向量共面，说明前两个向量的向量积（垂直于平面的向量）与第三个向量亦垂直。故三个向量共面的充要条件如下
\[
[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]=(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=0
\]