施密特正交化

过程

设 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\) 是 \(V\) 的一个基，要求 \(V\) 的一个标准正交基，即把 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\) 标准正交化。

\[ \begin{aligned} \beta_1 &= \alpha_1\\ \beta_2 &=\alpha_2-\cfrac{\langle\beta_1,\alpha_2\rangle}{\langle\beta_1,\beta_1\rangle}\beta_1\\ \cdots\\ \beta_r &= \alpha_r-\sum_{j=1}^{r-1}\cfrac{\langle\beta_j,\alpha_r\rangle}{\langle\beta_j,\beta_j\rangle}\beta_j \end{aligned} \]

得到 \(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r\) 两两正交且与 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r\) 等价，这个过程称为施密特（Schmidt）正交化。

再将得到的正交向量组单位化：

\[ e_1=\cfrac{1}{\Vert\beta_1\Vert}\beta_1,\,e_2=\cfrac{1}{\Vert\beta_2\Vert}\beta_1,\,\cdots,e_r=\cfrac{1}{\Vert\beta_r\Vert}\beta_r \]

\(e_1,e_2,\cdots,e_r\) 就是 \(V\) 的一个标准正交基。

几何意义

每一个向量减去投影向量，\(\frac{\langle\boldsymbol\beta,\boldsymbol\alpha\rangle}{\langle\boldsymbol\beta,\boldsymbol\beta\rangle}\boldsymbol\beta\) 可以表示 \(\boldsymbol\alpha\) 在 \(\boldsymbol\beta\) 上的投影向量。