柯西-施瓦茨不等式

一般形式

设 \(n\geq 2\) 是正整数且 \(x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_n\in\mathbb{R}\)

\[ \left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^ny_i^2\right)\geq\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)^2 \]

等号成立当且仅当

\[ \cfrac{x_1}{y_1}=\cfrac{x_2}{y_2}=\cdots=\cfrac{x_n}{y_n} \]

积分形式

设 \(f,g\) 是区间 \([a,b]\) 上的可积函数且平方可积，则有

\[ \left(\int_a^bf^2(x)\mathrm{d}x\right)\left(\int_a^bg^2(x)\mathrm{d}x\right)\geq\left(\int_a^bf(x)g(x)\mathrm{d}x\right)^2 \]

写作内积形式

\[ \langle\alpha,\alpha\rangle\langle\beta,\beta\rangle\geq\langle\alpha,\beta\rangle ^2 \]