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正交矩阵与正交变换

正交矩阵

如果 \(n\) 阶矩阵 \(\boldsymbol{A}\) 满足

\[ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E} \]

即 \(\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\)，那么称 \(\boldsymbol{A}\) 为正交矩阵，简称正交阵。

用 \(\boldsymbol{A}\) 的列向量来表示

\[ \left(\begin{array}{c} \boldsymbol{a}_1^{\mathrm{T}}\\ \boldsymbol{a}_2^{\mathrm{T}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_n^{\mathrm{T}}\\ \end{array}\right)\left( \boldsymbol{a}_1^{\mathrm{T}},\boldsymbol{a}_2^{\mathrm{T}},\cdots,\boldsymbol{a}_n^{\mathrm{T}}\right)=\boldsymbol{E} \]

这又 \(n^2\) 个关系式

\[ \boldsymbol{a}_i^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{a}_j}=\begin{cases} 1,\,i=j\\ 0,\,i\neq j \end{cases}\,(i,j=1,2,\cdots,n) \]

方阵 \(\boldsymbol{A}\) 是正交矩阵的充分必要条件是 \(\boldsymbol{A}\) 的列向量都是单位向量，且两两正交。

由于 \(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}\) 与 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E}\) 等价，故对于行向量亦成立。

正交矩阵的性质

  • 若 \(\boldsymbol{A}\) 是正交矩阵，则 \(\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\) 也是正交矩阵，且 \(|\boldsymbol{A}|=1\) 或 \(-1\)。

  • 若 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\) 都是正交矩阵，则 \(\boldsymbol{AB}\) 也是正交矩阵。

正交变换

若 \(\boldsymbol{P}\) 是正交矩阵，则线性变换 \(\boldsymbol{y}=\boldsymbol{Px}\) 称为正交变换。有

\[ \Vert\boldsymbol{y}\Vert=\sqrt{\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{y}}=\sqrt{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Px}}=\sqrt{\boldsymbol{x^{\mathrm{T}}\boldsymbol{x}}}=\Vert\boldsymbol{x}\Vert \]

经正交变换线段长度保持不变。

下列命题等价

  • 保持长度不变：\(T\) 为正交变换。

  • 保持内积不变：\(\forall\alpha,\beta\in V,\langle T\alpha,T\beta\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle\)

  • 若 \(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n\) 为标准正交基，则 \(T\xi_1,T\xi_2,\cdots,T\xi_n\) 也是标准正交基。

  • \(T\) 在标准正交基下的矩阵为正交矩阵。