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正交矩阵与正交变换

正交矩阵

如果 nn 阶矩阵 A\boldsymbol{A} 满足

ATA=E \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}

即 A−1=AT\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}，那么称 A\boldsymbol{A} 为正交矩阵，简称正交阵。

用 A\boldsymbol{A} 的列向量来表示

(a1Ta2T⋮anT)(a1T,a2T,⋯,anT)=E \left(\begin{array}{c} \boldsymbol{a}_1^{\mathrm{T}}\\ \boldsymbol{a}_2^{\mathrm{T}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_n^{\mathrm{T}}\\ \end{array}\right)\left( \boldsymbol{a}_1^{\mathrm{T}},\boldsymbol{a}_2^{\mathrm{T}},\cdots,\boldsymbol{a}_n^{\mathrm{T}}\right)=\boldsymbol{E}

这又 n2n^2 个关系式

aiTaj={1,i=j0,i≠j(i,j=1,2,⋯,n) \boldsymbol{a}_i^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{a}_j}=\begin{cases} 1,\,i=j\\ 0,\,i\neq j \end{cases}\,(i,j=1,2,\cdots,n)

方阵 A\boldsymbol{A} 是正交矩阵的充分必要条件是 A\boldsymbol{A} 的列向量都是单位向量，且两两正交。

由于 ATA=E\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E} 与 AAT=E\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{E} 等价，故对于行向量亦成立。

正交矩阵的性质

  • 若 A\boldsymbol{A} 是正交矩阵，则 A−1=AT\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} 也是正交矩阵，且 ∣A∣=1|\boldsymbol{A}|=1 或 −1-1。

  • 若 A\boldsymbol{A} 和 B\boldsymbol{B} 都是正交矩阵，则 AB\boldsymbol{AB} 也是正交矩阵。

正交变换

若 P\boldsymbol{P} 是正交矩阵，则线性变换 y=Px\boldsymbol{y}=\boldsymbol{Px} 称为正交变换。有

∥y∥=yTy=xTPTPx=xTx=∥x∥ \Vert\boldsymbol{y}\Vert=\sqrt{\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{y}}=\sqrt{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{Px}}=\sqrt{\boldsymbol{x^{\mathrm{T}}\boldsymbol{x}}}=\Vert\boldsymbol{x}\Vert

经正交变换线段长度保持不变。

下列命题等价

  • 保持长度不变：TT 为正交变换。

  • 保持内积不变：∀α,β∈V,⟨Tα,Tβ⟩=⟨α,β⟩\forall\alpha,\beta\in V,\langle T\alpha,T\beta\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle

  • 若 ξ1,ξ2,⋯,ξn\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n 为标准正交基，则 Tξ1,Tξ2,⋯,TξnT\xi_1,T\xi_2,\cdots,T\xi_n 也是标准正交基。

  • TT 在标准正交基下的矩阵为正交矩阵。