空间的平面与直线

平面的方程表示

平面的向量方程：

\[ \boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_{0})=0 \]

其中 \(\boldsymbol{n}\) 为平面 \(\pi\) 的一个法向量，\(\boldsymbol{r}_0=\overrightarrow{OM_0}\), \(M_0\) 为平面上确定的一个点。只要向量 \(\boldsymbol{r}=\overrightarrow{OM}\) 满足平面方程则点 \(M\) 就在平面内。于是平面唯一确定。

设 \(M_0(x_0,y_0,z_0),\,M(x,y,z),\,\boldsymbol{n}=\{A,B,C\}\)，则平面方程可化为

\[ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 \]

即

\[ Ax+By+Cz+D=0 \]

其中 \(D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)\)。这称为平面的一般方程。系数 \(A,B,C\) 构成平面法向量的坐标。

已知三点 \(M_1(x_1,y_1,z_1),\,M_2(x_2,y_2,z_2),\,M_3(x_3,y_3,z_3)\) 不共线，则对于平面上任意一点 \(M(x,y,z)\) 有

\[ (\overrightarrow{M_1M_2}\times \overrightarrow{M_1M_3})\cdot\overrightarrow{M_1M}=0 \]

即

\[ [\overrightarrow{M_1M_2},\overrightarrow{M_1M_3},\overrightarrow{M_1M}]=\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \\ x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ \end{vmatrix}=0 \]

于是得到平面的三点式方程

\[ \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \\ \end{vmatrix}=0 \]

若平面过 \((a,0,0),\,(0,b,0),\,(0,0,c)\,(abc\neq 0)\)，则将其代入一般方程得到：

\[ A=-\frac{D}{a},\,B=-\frac{D}{b},\,C=-\frac{D}{c} \]

代回一般方程得到

\[ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 \]

这称为平面的截距式方程。

点到平面的距离

对于一点 \(P_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})\) 和一个平面 \(Ax+By+Cz+D=0\)，从点 \(P_{1}\) 到平面的距离是：

\[ d=\frac {\vert Ax_{1}+By_{1}+Cz_{1}+d\vert}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}} \]

从点 \(P_1\) 向平面做垂线，垂足为 \(P_0(x_0,y_0,x_0)\)。有

\[ \overrightarrow{P_0P_1}\cdot\boldsymbol{n}=\pm\vert\overrightarrow{P_0P_1}\vert\vert\boldsymbol{n}\vert \]

而

\[ \begin{aligned} \overrightarrow{P_0P_1}\cdot\boldsymbol{n}&=A(x_1-x_0)+B(y_1-y_0)+C(z_1-z_0)\\&=Ax_1+Bx_2+Cx_3-(Ax_0+Bx_0+Cx_0)\\&=Ax_1+By_1+Cz_1+D\\ \vert\boldsymbol{n}\vert&=\sqrt{A^2+B^2+C^2} \end{aligned} \]

从而得到公式。

满足 \(A^2+B^2+C^2=1\) 的平面方程称为法式方程，三个系数构成平面的单位法向量 \(\boldsymbol{e}_1=\{A,B,C\}\)。用方向余弦可将平面方程写作：

\[ x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma+d=0 \]

任何平面方程都可以通过乘 \(\cfrac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\) 的方式化为法式方程，这个因子称为法化因子。求点到平面距离可先法化，代入坐标最后求绝对值。

两平面间的夹角

已知两平面

\[ \pi_1:A_1x+B_1y+C_1z=0\\ \pi_2:A_2x+B_2y+C_2z=0 \]

且 \(\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2\) 分别为其法向量，两平面间夹角 \(\theta\) 规定介于 \(0\) 到 \(\cfrac{\pi}{2}\) 之间。

\[ \theta=\arccos \frac{\vert\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2\vert}{\vert\boldsymbol{n_1}\vert\vert\boldsymbol{n_2}\vert}=\arccos\frac{\vert A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2\vert}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}} \]

由此也可推出平面平行和垂直的条件。

空间直线的方程

如果直线通过一点 \(M_0\)，且与某一向量 \(\boldsymbol{v}\) 平行，则可唯一确定该直线。这个向量称为直线的方向向量。设 \(M_0\) 为平面上一点，于是存在实数 \(t\)

\[ \overrightarrow{M_0M}=t\boldsymbol{v} \]

记 \(\boldsymbol{r}_0=\overrightarrow{OM_0},\,\boldsymbol{r}=\overrightarrow{OM}\)，则

\[ \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_0=t\boldsymbol{v} \]

即

\[ \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_0+t\boldsymbol{v} \]

这称为直线的向量方程，设 \(M_0(x_0,y_0,z_0),\boldsymbol{v}=\{l,m,n\}\)，写出直线的参数方程

\[ \begin{cases} x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt \end{cases} \]

若 \(lmn\neq 0\) 则可将方程写为

\[ \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}(=t) \]

这称为直线的点向式方程，又称为标准方程。凡与 \(l,m,n\) 成比例的任何一组数都称为该直线的一组方向数。

直线的一般方程通过两个平面相交来表示

\[ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \]

已知直线经过两点 \(M_1(x_1,y_1,z_2),\,M_2(x_2,y_2,z_2)\)，可以有标准方程导出两点式

\[ \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} \]

此时直线的方向向量可由两个平面法向量的向量积来表示。

两直线夹角

把成锐角或直角的对顶角定义为两直线的夹角，设 \(\boldsymbol{v}_1,\,\boldsymbol{v}_2\) 为两直线的方向向量

\[ \cos\theta=\vert\cos(\widehat{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2})\vert=\frac{\vert\boldsymbol{v}_1\cdot\boldsymbol{v}_2\vert}{\vert\boldsymbol{v}_1\vert\vert\boldsymbol{v}_2\vert} \]

直线与平面夹角

\[ \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\frac{\vert\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}\vert}{\vert\boldsymbol{v}\vert\vert\boldsymbol{n}\vert} \]

即

\[ \sin\theta=\frac{\vert\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}\vert}{\vert\boldsymbol{v}\vert\vert\boldsymbol{n}\vert} \]

点到直线的距离

设已知 \(L\) 上的点 \(M_0(x_0,y_0,z_0)\)，\(L\) 的方向向量 \(\boldsymbol{v}=\{l,m,n\}\)，求 \(M_1(x_1,y_1,z_1)\) 到直线 \(L\) 的距离

用向量积求出平行四边形面积再除以方向向量即可。

\[ \begin{aligned} d &= \frac{S}{\vert\boldsymbol{v}\vert}=\frac{\vert\boldsymbol{v}\times \overrightarrow{M_0M_1}\vert}{\vert\boldsymbol{v}\vert}\\ &= \frac{\sqrt{\begin{vmatrix} y_1-y_0 & z_1-z_0 \\ m & n \\ \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} z_1-z_0 & x_1-x_0 \\ n & l \\ \end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix} x_1-x_0 & y_1-y_0 \\ l & m \\ \end{vmatrix}^2}}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}} \end{aligned} \]

异面直线的距离

在两条直线上分别取两点 \(P_1,\,P_2\)，设两直线方向向量分别为 \(\boldsymbol{v}_1,\,\boldsymbol{v}_2\)，由混合积和向量积的定义可以得到

\[ d=\frac{\vert[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,P_1P_2]\vert}{\vert\boldsymbol{v}_1\times \boldsymbol{v}_2\vert} \]